幂函数图象与性质的实验探究
探索 y = xa 的图象与性质
实验探究
拖动Y轴上的绿点改变指数a的值
全部图象
仅正半轴
仅负半轴
显示参考函数
显示关键点
显示渐近线
显示网格
y = x2.0
幂函数实验说明
交互指南
1. 通过以下方式改变指数a的值：
- 在输入框中直接输入数值
- 拖动绿色控制点（在y轴上）
2. 使用上方按钮控制可视化效果：
- 显示参考函数：同时显示y=x, y=x², y=x³, y=√x, y=1/x
- 显示关键点：显示(0,0)、(1,1)等关键点
- 显示渐近线：当a<0时显示坐标轴渐近线
- 显示网格：显示坐标网格线
3. 使用中间按钮切换显示正半轴或负半轴图象
4. 点击特殊函数按钮直接查看常见函数图象
5. 点击实验结果按钮查看函数性质分析
数学概念
幂函数： y = xa (a ∈ ℝ)
高中常见幂函数：
- a = 1: 直线 y = x
- a = 2: 抛物线 y = x²
- a = 3: 立方函数 y = x³
- a = 1/2: 平方根函数 y = √x
- a = -1: 反比例函数 y = 1/x
性质特点：
- 当 a > 0 时，函数过原点(0,0)和点(1,1)
- 当 a < 0 时，函数图象为双曲线，不过原点
- 当 a 为偶数时，函数为偶函数
- 当 a 为奇数时，函数为奇函数
尝试挑战
初级
中级
高级
问题1: 下列哪个函数是奇函数？
奇函数满足f(-x) = -f(x)。y = x³满足这个性质，因为(-x)³ = -x³。
问题2: 函数y = x⁻²的定义域是什么？
y = x⁻²可以写成y = 1/x²，分母不能为零，所以x ≠ 0。
问题3: 哪个函数在(0, +∞)上是减函数？
当指数a < 0时，幂函数在(0, +∞)上是减函数。y = x⁻¹就是这样的函数。
问题1: 函数y = x^(1/3)的图象关于什么对称？
y = x^(1/3)是奇函数，图象关于原点对称。虽然立方根函数在x < 0时定义，但整体形状与y = x³相似。
问题2: 下列哪个函数在x=0处有定义？
y = x^(1/3)在所有实数上都有定义，包括x=0。其他选项的函数在x=0处无定义。
问题3: 函数y = x⁴在(-∞,0)上的单调性是？
对于偶数次幂函数，当x < 0时，随着x增大(趋近于0)，函数值减小，所以在(-∞,0)上是减函数。
问题1: 函数y = x^(2/3)的图象在x=0处有什么性质？
y = x^(2/3)在x=0处连续且可导，但导数在该点不存在(左右导数不相等)，形成尖点。
问题2: 比较a=1/2和a=1/3的两个幂函数，当x∈(0,1)时，哪个函数值更大？
当0 < x < 1时，对于0 < a < b，有x^a > x^b。因为1/2 > 1/3，所以x^(1/2) > x^(1/3)。
问题3: 函数y = x^(-2/3)的定义域是？
y = x^(-2/3) = 1/(x^(2/3)) = 1/(x^(1/3))²。因为分母不能为零且x^(1/3)在负数有定义，所以x ≠ 0。